Ayunan Matematis - Laporan Praktikum Ayunan Matematis

 Artikel Pada kesempatan ini tentang Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Matematis

Ayunan Bandul Matematis

Ayunan matematis merupakan suatu partikel massa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali, di mana massa tali dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang^[6]. Dari gambar tersebut, terdapat sebuah beban bermassa ${\displaystyle m}$ tergantung pada seutas kawat halus sepanjang ${\displaystyle l}$ dan massanya dapat diabaikan. Apabila bandul itu bergerak vertikal dengan membentuk sudut ${\displaystyle \theta }$, gaya pemulih bandul tersebut adalah ${\displaystyle mgsin\theta }$^[6]. Secara matematis dapat dituliskan^[6] :
${\displaystyle F=mgsin\theta }$
Oleh karena ${\displaystyle sin\theta ={\frac {y}{l}}}$, maka :
${\displaystyle F=-mg{\frac {y}{l}}}$

Persamaan, Kecepatan, dan Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana adalah^[6] :
${\displaystyle Y=Asin\omega \ t}$
Keterangan :

• Y = simpangan
• A = simpangan maksimum (amplitudo)
• F = frekuensi
• t = waktu

Jika posisi sudut awal adalah ${\displaystyle \theta _{0}}$, maka persamaan gerak harmonik sederhana menjadi ^[6]:
${\displaystyle Y=Asin(\omega \ t+\theta _{0}</math)>===KecepatanGerakHarmonikSederhana===Daripersamaangerakharmoniksederhana<math>Y=Asin\omega \ t}$
Kecepatan gerak harmonik sederhana^[6] :
${\displaystyle v={\frac {dy}{dt}}}$ ${\displaystyle (sinAsin\omega \ t)}$
${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$
Kecepatan maksimum diperoleh jika nilai ${\displaystyle cos\omega \ t=1}$ atau ${\displaystyle \omega \ t=0}$, sehingga : ${\displaystyle vmaksimum=A\omega }$

Kecepatan untuk Berbagai Simpangan

${\displaystyle Y=Asin\omega \ t}$
Persamaan tersebut dikuadratkan
${\displaystyle Y^{2}=A^{2}sin^{2}\omega \ t}$, maka^[6] :
${\displaystyle Y^{2}=A^{2}(1-COS^{2}\omega \ t)}$
${\displaystyle Y^{2}=A^{2}-A^{2}COS^{2}\omega \ t}$ ...(1)
Dari persamaan : ${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$
${\displaystyle {\frac {v}{\omega }}=Acos\omega \ t}$ ...(2)
Persamaan (1) dan (2) dikalikan, sehingga didapatkan :
${\displaystyle v^{2}=\omega \ (A^{2}-Y^{2})}$
Keterangan :

• v =kecepatan benda pada simpangan tertentu
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut
• A = amplitudo
• Y = simpangan

Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Dari persamaan kecepatan : ${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$, maka^[6] :
${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}}$
${\displaystyle a=-A\omega ^{2}\ sin\omega \ t}$
Percepatan maksimum jika ${\displaystyle \omega \ t=1}$ atau ${\displaystyle \omega \ t}$ = 90⁰ = ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle amaks=-A\omega ^{2}\ sin{\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle amaks=-A\omega ^{2}\ }$
Keterangan :

• a maks = percepatan maksimum
• A = amplitudo
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut 

Sumber : Wikipedia https://id.wikipedia.org/wiki/Gerak_harmonik_sederhana

 Laporan Praktikum Ayunan Matematis

A.   Tujuan :

1. Memahami pengaruh panjang tali, massa beban dan besar sudut simpangan pada hasil pengukuran.
2. Menentukan percepatan gravitasi dengan metode ayunan Fisis.

B.   Alat dan Bahan

1. Tali kasur 
2. Bandul (lebih baik yang berbentuk seperti bola)
3. tiang penyangga (statip)
4. Stopwatch
5. Busur derajat 

Tips : untuk menunjang keberhasilan praktikum ayunan matematis ini, dapat dilakukan dengan,

• Dalam praktikum ayunan matematis ini, usahakan menggunakan sudut simpangan maksimal 10 derajat.
• Gunakan bandul yang berupa bola, karena dapat meminimalkan gesekan udara dalam praktikum ayunan matematis.

C.   Landasan Teori 

     Bandul matematis atau ayunan matematis setidaknya menjelaskan bagaimana suatu titik benda digantungkan pada suatu titk tetap dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut  terhadap garis vertical maka gaya yang mengembalikan :

F = - m . g . sin θ

Untuk θ dalam radial yaitu θ kecil maka sin θ = θ = s/l, dimana s = busur lintasan bola dan l = panjang tali , sehingga :                                                                         F = −mgs/l
Kalau tidak ada gaya gesekan dan gaya puntiran maka persamaan gaya adalah :

 Ini adalah persamaan differensial getaran selaras dengan periode adalah :

Harga l dan T dapat diukur pada pelaksanaan percobaan dengan bola logam yang cukup berat digantungkan dengan kawat yang sangat ringan (Anonim, 2007).
 

Beban yang diikat pada ujung tali ringan yang massanya dapat diabaikan disebut bandul. Jika beban ditarik kesatu sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka bandul sederhana itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m digantung pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali.
F = - m g sin θ
F = m a
maka
m a = - m g sin θ
a = - g sin θ

Untuk getaran selaras θ kecil sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l , maka persamaan menjadi: a= gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik.

Dimana :
l = panjang tali (meter)
g= percepatan gravitasi (ms-2)
T= periode bandul sederhana (s)
Dari rumus di atas diketahui bahwa periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, melaikan hanya bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi, yaitu:

(Hendrra,2006)

Gerak osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika simpangan osilasi tidak terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat mulur. Ini dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping dari posisi setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun dalam bidang vertikal kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak osilasi dan periodik. Kita ingin menentukan periode ayunan. Pada gambar di bawah ini, ditunjukkan sebuah ayunan dengan panjang 1, dengan sebuah partikel bermassa m, yang membuat sudut θ terhadap arah vertical. Gaya yang bekerja pada partikel adalah gaya berat dan gaya tarik dalam tali. Kita pilih suatu sistem koordinat dengan satu sumbu menyinggung lingkaran gerak (tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan gaya berat mg atas komponenkomponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah tangensial, yaitu mg sin θ. Komponen radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal yang diperlukan agar benda bergerak pada busur lingkaran.Komponen tangensial adalah gaya pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi setimbang. Jadi gaya pembalik adalah :

F = −mg sinθ

Perhatikan bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic sederhana. Akan tetapi, jika sudut θ adalah kecil maka sin θ ≈ θ (radial). Simpangan sepanjang busur lintasan adalah x=lθ , dan untuk sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita peroleh :

Gambar 1. Gaya-gaya yang bekerja pada ayunan sederhana

Jadi untuk simpangan yang kecil, gaya pembalik adalah sebanding dengan simpangan, dan mempunyai arah berlawanan. Ini bukan laian adalah persyaratan gerak harmonic sederhana. Tetapan mg/l menggantikan tetapan k pada F=-kx.
Perioda ayunan jika amplitude kecil adalah:

(Sutrisno, 1997).

Contoh dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian kita dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji seperti dalam gambar 2.

Gaya pemulih muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam bentuk gaya gravitasi Mg yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan tidak bergantung kepada massa M.
 Sumber : website http://elma-lukmayanti.blogspot.co.id/2013/03/laporan-praktikum-ayunan-matematis.html

Hari Tidur SeDunia | Inilah Diet Tidur

Dari asam amino untuk lelap, apa yang seharusnya Anda makan untuk mendapatkan delapan jam

 

Perasaan lesu? Ini Hari Tidur SeDunia (18 Maret), saatnya untuk mengatasi masalah tersebut.

Anda bahkan dapat berhubungan dengan satu dari lima orang Inggris yang mengatakan bahwa mereka tidak mendapatkan cukup tidur setiap malam. Angka-angka ini dari survei yang dilakukan oleh NutriCentre untuk Sleep Awareness Week (06-13 Maret), yang menunjukkan bahwa banyak dari kita perlu meningkatkan durasi dan kualitas downtime kami - dan menangani pola makan kita sehari-hari adalah tempat yang berharga untuk memulai.

Ahli gizi Shona Wilkinson, Cassandra Barns dan Dr Marilyn Glenville telah bekerja sama untuk membawa kita lima tips mereka untuk makan diri kita sendiri untuk tidur malam yang lebih baik.

1 Bird adalah kata

Pastikan bahwa Anda memiliki cukup protein siang hari . 'Makanan tinggi protein adalah daging, ikan, kacang-kacangan dan lentil, biji-bijian dan kacang-kacangan (pilih tawar dan baku daripada panggang). makanan berprotein, seperti kalkun, menyediakan asam amino triptofan, yang mengkonversi ke hormon serotonin dan melatonin, yang dibutuhkan untuk tidur yang baik. Hindari terlalu banyak makanan tinggi protein dalam beberapa jam terakhir sebelum tidur namun, karena mereka dapat menjadi sulit untuk dicerna - terutama daging merah dan kacang-kacangan, "kata Wilkinson.

'Namun, tryptophan bukan satu-satunya konstituen yang membuat kalkun layak disebutkan: itu juga merupakan sumber yang baik dari seng dan vitamin B6 - co-faktor yang membantu tubuh memproduksi melatonin dari tryptophan, "kata Dr Glenville. Meskipun kalkun adalah daging putih, itu masih yang terbaik untuk memilikinya pada hari sebelumnya. 'Satu porsi besar daging, atau makanan tinggi protein lainnya, sore hari dapat menghentikan Anda jatuh tertidur,' tambah Dr Glenville.

2 Tranquiliser Alam

'Termasuk banyak makanan yang kaya magnesium dalam diet Anda. Berpikir: soba, labu dan biji bunga matahari, ikan dan makanan laut, sayuran berdaun hijau, seperti bayam dan kangkung, dan buah-buahan kering. Magnesium dikenal sebagai "tranquiliser alam" dan diperlukan untuk bersantai otot-otot kita. Hal ini juga penting untuk fungsi GABA kimia, sebuah neurotransmitter yang menenangkan otak Anda membutuhkan untuk mematikan. Anda juga dapat mencoba mengambil suplemen, seperti Sinergis Magnesium oleh Quest Vitamin , "kata Barns.

3 Tiram: tidak hanya afrodisiak

'Termasuk makanan kaya zinc seperti biji labu, tiram dan makanan laut lainnya, biji-bijian dan kacang-kacangan, terutama pecan dan kacang Brazil. Seng dibutuhkan untuk konversi triptofan menjadi serotonin dan melatonin, "kata Wilkinson.

4 Tidak ada memperlakukan sebelum tidur yang

Hindari makanan besar dan terlalu banyak sulit mencerna makanan selama tiga sampai empat jam sebelum tidur. Tinggal jauh dari keju dan makanan yang digoreng.

'Stimulan seperti teh dan kopi harus dihindari juga. Kafein dapat tinggal di tubuh hingga 12 jam, jadi jika Anda memiliki masalah tidur, hindari teh atau kopi dari sekitar 12 siang dan seterusnya. Coba menenangkan teh chamomile sebaliknya, "papar Wilkinson.

5 karbohidrat yang baik untuk tidur malam yang baik

Lambat-releasing karbohidrat membantu untuk menjaga tingkat gula (glukosa) dalam darah Anda stabil, dan menyediakan tubuh Anda dengan energi yang berkelanjutan. Anda mungkin tidak berpikir Anda perlu banyak energi saat Anda sedang tidur, tapi otak dan tubuh masih perlu glukosa untuk tetap bekerja. 'Jika tingkat jatuh terlalu rendah, ini dapat menyebabkan pelepasan hormon adrenalin dan kortisol, yang bisa membangunkan Anda. Untuk menghindari hal ini, pastikan Anda makan beberapa karbohidrat yang lambat-releasing di malam hari: satu porsi nasi gandum atau sepotong roti gandum dengan makan malam Anda, atau beberapa oatcakes dengan sedikit houmous sebagai pra-tidur ringan, ‘Saran Dr Glenville’.