Ayunan Matematis - Laporan Praktikum Ayunan Matematis

 Artikel Pada kesempatan ini tentang Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Matematis

Ayunan Bandul Matematis

Ayunan matematis merupakan suatu partikel massa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali, di mana massa tali dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang^[6]. Dari gambar tersebut, terdapat sebuah beban bermassa ${\displaystyle m}$ tergantung pada seutas kawat halus sepanjang ${\displaystyle l}$ dan massanya dapat diabaikan. Apabila bandul itu bergerak vertikal dengan membentuk sudut ${\displaystyle \theta }$, gaya pemulih bandul tersebut adalah ${\displaystyle mgsin\theta }$^[6]. Secara matematis dapat dituliskan^[6] :
${\displaystyle F=mgsin\theta }$
Oleh karena ${\displaystyle sin\theta ={\frac {y}{l}}}$, maka :
${\displaystyle F=-mg{\frac {y}{l}}}$

Persamaan, Kecepatan, dan Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana adalah^[6] :
${\displaystyle Y=Asin\omega \ t}$
Keterangan :

• Y = simpangan
• A = simpangan maksimum (amplitudo)
• F = frekuensi
• t = waktu

Jika posisi sudut awal adalah ${\displaystyle \theta _{0}}$, maka persamaan gerak harmonik sederhana menjadi ^[6]:
${\displaystyle Y=Asin(\omega \ t+\theta _{0}</math)>===KecepatanGerakHarmonikSederhana===Daripersamaangerakharmoniksederhana<math>Y=Asin\omega \ t}$
Kecepatan gerak harmonik sederhana^[6] :
${\displaystyle v={\frac {dy}{dt}}}$ ${\displaystyle (sinAsin\omega \ t)}$
${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$
Kecepatan maksimum diperoleh jika nilai ${\displaystyle cos\omega \ t=1}$ atau ${\displaystyle \omega \ t=0}$, sehingga : ${\displaystyle vmaksimum=A\omega }$

Kecepatan untuk Berbagai Simpangan

${\displaystyle Y=Asin\omega \ t}$
Persamaan tersebut dikuadratkan
${\displaystyle Y^{2}=A^{2}sin^{2}\omega \ t}$, maka^[6] :
${\displaystyle Y^{2}=A^{2}(1-COS^{2}\omega \ t)}$
${\displaystyle Y^{2}=A^{2}-A^{2}COS^{2}\omega \ t}$ ...(1)
Dari persamaan : ${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$
${\displaystyle {\frac {v}{\omega }}=Acos\omega \ t}$ ...(2)
Persamaan (1) dan (2) dikalikan, sehingga didapatkan :
${\displaystyle v^{2}=\omega \ (A^{2}-Y^{2})}$
Keterangan :

• v =kecepatan benda pada simpangan tertentu
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut
• A = amplitudo
• Y = simpangan

Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Dari persamaan kecepatan : ${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$, maka^[6] :
${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}}$
${\displaystyle a=-A\omega ^{2}\ sin\omega \ t}$
Percepatan maksimum jika ${\displaystyle \omega \ t=1}$ atau ${\displaystyle \omega \ t}$ = 90⁰ = ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle amaks=-A\omega ^{2}\ sin{\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle amaks=-A\omega ^{2}\ }$
Keterangan :

• a maks = percepatan maksimum
• A = amplitudo
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut 

Sumber : Wikipedia https://id.wikipedia.org/wiki/Gerak_harmonik_sederhana

 Laporan Praktikum Ayunan Matematis

A.   Tujuan :

1. Memahami pengaruh panjang tali, massa beban dan besar sudut simpangan pada hasil pengukuran.
2. Menentukan percepatan gravitasi dengan metode ayunan Fisis.

B.   Alat dan Bahan

1. Tali kasur 
2. Bandul (lebih baik yang berbentuk seperti bola)
3. tiang penyangga (statip)
4. Stopwatch
5. Busur derajat 

Tips : untuk menunjang keberhasilan praktikum ayunan matematis ini, dapat dilakukan dengan,

• Dalam praktikum ayunan matematis ini, usahakan menggunakan sudut simpangan maksimal 10 derajat.
• Gunakan bandul yang berupa bola, karena dapat meminimalkan gesekan udara dalam praktikum ayunan matematis.

C.   Landasan Teori 

     Bandul matematis atau ayunan matematis setidaknya menjelaskan bagaimana suatu titik benda digantungkan pada suatu titk tetap dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut  terhadap garis vertical maka gaya yang mengembalikan :

F = - m . g . sin θ

Untuk θ dalam radial yaitu θ kecil maka sin θ = θ = s/l, dimana s = busur lintasan bola dan l = panjang tali , sehingga :                                                                         F = −mgs/l
Kalau tidak ada gaya gesekan dan gaya puntiran maka persamaan gaya adalah :

 Ini adalah persamaan differensial getaran selaras dengan periode adalah :

Harga l dan T dapat diukur pada pelaksanaan percobaan dengan bola logam yang cukup berat digantungkan dengan kawat yang sangat ringan (Anonim, 2007).
 

Beban yang diikat pada ujung tali ringan yang massanya dapat diabaikan disebut bandul. Jika beban ditarik kesatu sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka bandul sederhana itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m digantung pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali.
F = - m g sin θ
F = m a
maka
m a = - m g sin θ
a = - g sin θ

Untuk getaran selaras θ kecil sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l , maka persamaan menjadi: a= gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik.

Dimana :
l = panjang tali (meter)
g= percepatan gravitasi (ms-2)
T= periode bandul sederhana (s)
Dari rumus di atas diketahui bahwa periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, melaikan hanya bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi, yaitu:

(Hendrra,2006)

Gerak osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika simpangan osilasi tidak terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat mulur. Ini dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping dari posisi setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun dalam bidang vertikal kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak osilasi dan periodik. Kita ingin menentukan periode ayunan. Pada gambar di bawah ini, ditunjukkan sebuah ayunan dengan panjang 1, dengan sebuah partikel bermassa m, yang membuat sudut θ terhadap arah vertical. Gaya yang bekerja pada partikel adalah gaya berat dan gaya tarik dalam tali. Kita pilih suatu sistem koordinat dengan satu sumbu menyinggung lingkaran gerak (tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan gaya berat mg atas komponenkomponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah tangensial, yaitu mg sin θ. Komponen radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal yang diperlukan agar benda bergerak pada busur lingkaran.Komponen tangensial adalah gaya pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi setimbang. Jadi gaya pembalik adalah :

F = −mg sinθ

Perhatikan bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic sederhana. Akan tetapi, jika sudut θ adalah kecil maka sin θ ≈ θ (radial). Simpangan sepanjang busur lintasan adalah x=lθ , dan untuk sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita peroleh :

Gambar 1. Gaya-gaya yang bekerja pada ayunan sederhana

Jadi untuk simpangan yang kecil, gaya pembalik adalah sebanding dengan simpangan, dan mempunyai arah berlawanan. Ini bukan laian adalah persyaratan gerak harmonic sederhana. Tetapan mg/l menggantikan tetapan k pada F=-kx.
Perioda ayunan jika amplitude kecil adalah:

(Sutrisno, 1997).

Contoh dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian kita dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji seperti dalam gambar 2.

Gaya pemulih muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam bentuk gaya gravitasi Mg yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan tidak bergantung kepada massa M.
 Sumber : website http://elma-lukmayanti.blogspot.co.id/2013/03/laporan-praktikum-ayunan-matematis.html